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Projet ECOS : ETM de l'analyse

Version espagnole

Les espaces de travail mathématique de l'analyse pour les enseignants de mathématiques au Chili et en France: Indentification et construction

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Projet ECOS (2014 - 2016)

Le projet C13H03 est coordonné par Alain Kuzniak et Laurent Vivier en France, et par Elizabeth Montoya au Chili. Il implique l'université Paris-Diderot (LDAR) et l'Université Pontificale et Catholique de Valparaiso

 

Activités et articles liés au projet

 

Contacts :

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Alain Kuzniak

Laurent Vivier 

Elizabeth Montoya 

 

Présentation générale du projet

Le projet, programmé sur une durée de 3 ans (2014-2016), est en partenariat entre le LDAR et l’équipe de didactique des mathématiques de l'Institut Mathématique de la PUC de Valparaiso au Chili. Les liens entre les deux équipes remontent au début des années 2000 avec notamment un premier projet ECOS-Sud (2003-2005) sur la géométrie.
L’objectif principal du projet est d’analyser l’Espace de Travail Mathématique, ETM, dans le domaine de l’analyse des professeurs en formations initiale et continue, au Chili et en France, avec la perspective d’élaborer des ressources pour la formation et l’enseignement.

Dans un premier temps nous analyserons les ETM idoines en formation initiale et au lycée et nous développerons le cadre des ETM dans le domaine de l’Analyse, dans les dimensions épistémologiques et cognitives, avec l’identification de paradigmes. Pour l’ETM idoine aussi bien que les ETM personnels des enseignants, nous nous appuierons notamment sur des entretiens d’enseignants de mathématiques. Puis, des situations didactiques seront élaborées, proposées et analysées en formation initiale et continue en tenant compte de nos premières analyses.

Nous faisons l’hypothèse que la maîtrise du sens en analyse suppose une flexibilité entre différents domaines mathématiques que les seules connaissances algébriques mises en œuvre dans le calculus ne suffisent pas à donner. Dans cette optique, l'étude s'appuiera aussi nécessairement sur la prise en compte des connaissances anciennes, les autres domaines mathématiques en jeu, ainsi que sur les dialectiques du local et du global, de la valeur exacte et de la valeur approchée, du discret et du continu.

Problématique 

Les débuts de l’enseignement de l’analyse

Les recherches en didactique des mathématiques se sont majoritairement préoccupées des notions élémentaires qui sont introduites dans la scolarité obligatoire (nombres entiers, décimaux, fractions, algèbre, géométrie). Néanmoins, bien qu'elle n'apparaisse que tardivement dans le curriculum, l'analyse et son enseignement ont retenu l’attention des chercheurs. L’analyse est, en effet, un domaine tout à fait nouveau à la fin du lycée, mais elle peut être cependant vue comme l’aboutissement d’un long projet d’enseignement qui s'appuie sur la proportionnalité, les graphiques, les équations de droite, les notions de pente, de tangente pour aboutir à la dérivation ou encore le passage des grandeurs à l’intégration. 
Si l’analyse peut être considérée comme un champ mathématique à part entière, il est difficile de le concevoir comme un domaine autonome tant les liens avec les autres domaines sont importants et les connaissances anciennes y sont nécessaires. Dans chaque pays, l’analyse et plus particulièrement l’étude des limites et des fonctions sont des questions complexes quant à l’apprentissage (Artigue, 1998) et, en même temps, elles constituent des thématiques centrales et transversales dans les programmes d’étude du lycée et de l’université. En France, l’accent est mis sur la résolution de problèmes car les procédures et notions algébriques et numériques deviennent inadéquates pour modéliser et traiter des situations internes aux mathématiques aussi bien qu’externes (physique, chimie, biologie, économie,…). Les élèves de lycée auront, pour une partie non négligeable d’entre eux, besoin de cette approche de l’analyse que ce soit dans leurs études universitaires ou dans leurs futures professions.
Cependant, ce qui est travaillé au lycée est en quelque sorte une analyse dont on aurait enlevé les fondements pour ne conserver que les méthodes : dériver ne devient qu’une suite d’opérations algébriques algorithmisées et calculer une limite revient bien souvent à utiliser ce qui est nommé « l’algèbre des limites ». C’est ce que les anglo-saxons appellent « calculus ». Or au Chili, au niveau de la transposition de ces savoirs, il a été montré les genèses mises en place ne sont pas appropriées et que l’algèbre opératoire domine l’enseignement. Au niveau de l'analyse, nous pensons également qu'il existe une déficience dans les diverses genèses convoquées dans ce domaine, et ce point constituera une des hypothèses principales de notre approche.
Bien entendu, ces procédures algébrisées sont utiles et nécessaires pour traiter des problèmes et cela pourrait suffire pour bon nombre de professions. Mais qu’en est-il du sens ? Quelle conceptualisation pouvons-nous espérer pour les élèves ? Un élève à qui on demande de calculer une limite peut utiliser les procédures algébriques pour effectuer cette tâche mais sera-t-il capable, seul, de mobiliser la notion de limite pour résoudre un problème ? Sera-t-il capable d’adapter ses connaissances ? On peut penser que l’utilisation d’algorithmes algébriques n’est pas suffisante pour lui permettre de résoudre ce type de problèmes qui nécessite un travail spécifique à l'analyse.
Ainsi, nous plaçons-nous dans une perspective d’une prise en compte dans l’enseignement au lycée des principes de l’analyse et, en premier lieu, celui de la dialectique local/global. De fait, au lycée, cette dialectique local/global n’apparaît pas – ou très peu – et le point de vue local lui-même est peu visible. La question du passage du discret au continu est également à prendre en considération, notamment parce qu’il est souvent au cœur des questions de modélisation.

La formation des enseignants de mathématiques

Au Chili comme en France, les enseignants de lycée sont formés à l’université où ils acquièrent, entre autres, des notions d’analyse qu’il s’agit de re-contextualiser dans l’enseignement au lycée. De leur côté, les enseignants de mathématiques ont eu une formation universitaire à l’analyse, et pas seulement au calculus. Cette formation est-elle suffisante pour qu’ils puissent intégrer dans leurs enseignements des éléments d’analyse dans un curriculum essentiellement axé sur le calculus? L’enjeu d’enseignement n’est ainsi pas uniquement guidé par la conceptualisation (cf. ci-dessus) et cela pose plus largement la question de la transposition des savoirs à enseigner.
Et ceci, d'autant plus que les programmes actuels ne facilitent pas ce travail de transposition. Par exemple en France, les programmes de Terminale scientifique consacrés à la notion de limite de fonctions, précisent que « Le travail réalisé sur les suites est étendu aux fonctions, sans formalisation excessive ». Au Chili comme en France, des sujets liés à l'analyse sont traités dans le secondaire. Mais ces liens ne sons pas exploités à l'université et le travail sur l'analyse est effectué sans mobiliser ces connaissances anciennes. Ainsi les professeurs acquièrent-ils à l'université les notions de l'analyse qu'ils devront recontextualiser au lycée avec une transposition qui sera largement à leur charge.
Paradoxalement, cet enseignement où il n’est pas question de formaliser la notion de limite, suppose de la part du professeur une grande maîtrise conceptuelle et épistémologique du champ mathématique enseigné. Il doit en effet appuyer son enseignement sur un discours explicatif des mathématiques en jeu mais sans pouvoir recourir au langage mathématique formalisé qu'il a appris à l'université. Ce discours, que l’on qualifie de méta-mathématique, pourra s'appuyer sur des changements de cadres et de registres pour favoriser les apprentissages. Mais cela demande vraisemblablement des connaissances mathématiques et didactiques importantes et assurées afin de pouvoir organiser et contrôler un tel discours. Ainsi, c’est la formation professionnelle des enseignants de mathématiques qui est en jeu, qu’elle soit initiale ou continue. Cela nous a conduit à mettre au cœur de notre projet, les questions centrales suivantes :

  • Quelles transpositions des savoirs les enseignants doivent-ils et peuvent-ils mettre en œuvre pour assurer l’enseignement de l’analyse au lycée ?
  • Comment leurs formations professionnelles initiale et continue peuvent-elles y contribuer ?
  • Quels sont les types de discours et de formulation qui peuvent favoriser les apprentissages des élèves et une conceptualisation adéquate des notions en jeu en analyse?

 

Ces questions sont évidemment à considérer en lien avec les contextes institutionnels. Au Chili, divers rapports comme celui de l’OCDE (2003), au niveau international, et SIMCE (2003, 2007, 2009), au niveau national, signalent l’importance de la formation initiale des professeurs de mathématiques ; d’un autre côté, les institutions ressentiront la pression imminente qu’exerceront les évaluations INICIA en formation des enseignants. En France, les derniers changements organisationnels pour le recrutement des enseignants et les effets que ceux-ci auront dans l’enseignement des mathématiques ont été sous-estimés.

Cadre théorique

Éléments centraux de la théorie des Espaces de Travail Mathématiques (ETM)

Dans le cadre des ETM (Kuzniak, 2011) la conceptualisation est conçue comme le fruit d’une interaction entre un individu et des problèmes dans un domaine (la géométrie à l’origine, mais cela peut être l’algèbre, l’analyse ou autres), qui constitue un environnement organisé pour le géomètre (algébriste, etc.) reposant sur l’articulation de deux plans, un plan épistémologique et un plan cognitif.

Le plan épistémologique est formé de trois composantes ou pôles : representamen, référentiel théorique et artefact. Le plan cognitif est constitué par trois processus : visualisation, construction et preuve. Pour décrire l’articulation des plans, on considère trois genèses qui permettent de lier les deux plans : sémiotique, instrumentale et discursive.

On distingue également trois types d’ETM : l’espace de travail de référence, défini par la relation avec le savoir, idéalement sur des critères mathématiques ; l’espace de travail idoine, pour prendre en compte l’institution où le savoir est enseigné ainsi que la fonction visée ; et l’espace de travail personnel, propre aux connaissances mathématiques et capacités cognitives d’un sujet confronté à un problème mathématique (Kuzniak, 2004).


Pour le cadre spécifique à l'analyse, voir Publications 

Plan de travail

Année 1 (2014) : collecte des données

  • Développement du cadre des ETM pour le domaine de l'analyse (6 mois)
  • Identification de l’ETM idoine : il est indispensable de commencer par étudier les programmes de l’université et aussi du lycée afin de trouver les aspects les plus pertinents et problématiques qui sont abordés d’un point de vue de l’analyse. (3 mois)
  • Sélection des objets : on doit déterminer les objets mathématiques au lycée qui sont reconnus comme obstacles et/ou éléments centraux dans la compréhension des savoirs du domaine de l'analyse
  • Étude bibliographique : étude des antécédents et recherches ad hoc (3 mois en parallèles)
  • Enregistrement avec leur analyse de classes d’enseignants titulaires (débutants ou non). (3 mois)
  • Diffusion : présentation au symposium ETM4 à Madrid.

Année 2 (2015) : Élaboration des scénarios et applications

  • Élaboration des scénarios : à cette étape se préparent des activités (situations d’apprentissage, questionnaires) sur des objets mathématiques (nombres réels, tangentes, fonctions continues, limites, etc.), sélectionnés la première année, où il existe des  traces de l’ETM idoine (et personnel) étudié. (3 mois)
  • Application de ces situations d’apprentissage pour les professeurs en formation initiale et continue. (2 mois)
  • Analyse des données : incorporer les réponses et les résultats des professeurs en formation initiale pour qu’ils analysent et réfléchissent sur leur ETM idoine. Il s’agit d’un moment clé pour introduire la méthodologie de l’étude des classes dans un atelier. (5 mois)
  • Diffusion: présentation à CERME 9 à Prague (République Tchèque) et à RELME.

Année 3 (2016) : Application des situations d'apprentissage

  • Dans cette année, on applique une nouvelle fois les scénarios (en ateliers) des situations didactiques élaborées avec une intention portant sur les genèses de l’ETMAnalyse dans la population cible (3mois). Les situations didactiques seront analysées a priori et a posteriori ; la méthodologie de l’ingénierie didactique sera introduite et menée en prenant en compte la population des professeurs : formation initiale, en service (débutants ou non, en formation continue), de manière à réaliser un travail collaboratif lié à la méthodologie de l’étude de classes afin d’enrichir les connaissances des participants (la population d’enseignants décrite ci-dessus)et les situations d'apprentissage.
  • Analyse et résultats (3 mois en parallèle).
  • Écriture d'articles et de rapports techniques (4 mois).
  • Diffusion scientifique: Présentation en congrès au Chili (SOCHIEM), sud-américains (RELME) et EICAL 10, (México), et en France (CORFEM).
  • Discussion entre les équipes sur l’ETM: à chaque étape, il est prévu un travail et des discussions présentielles et à distance entre les équipes. 

Missions

MISSIONS EFFECTUÉES EN 2014

  • Du 12 au 27 avril 2014, séjour de Laurent Vivier au Chili
  • Du 15 au 29 juin 2014, séjour d'Elizabeth Montoya en France
  • Du 1er au 29 juin 2014, séjour d'un mois en France de Carolina Henríquez


MISSIONS 2015

  • Du 12 au 26 Avril 2015, séjour de 14 jours de Alain Kuzniak au Chili
  • Du 19 août au 17 septembre 2015, séjour d'un mois de Paula Verdugo en France
  • Du 1er au 15 septembre 2015, séjour de 14 jours de Jaime Mena-Lorca en France
  • Du 28 septembre au 28 Octobre 2015, séjour d'un mois de Charlotte Derouet au Chili

Chercheurs

Chercheurs impliqués dans le projet

Chercheurs confirmés

LDAR PUCV
Alain Kuzniak Soledad Estrella
Cécile Ouvrier-Buffet Arturo Mena
Fabrice Vandebrouck Jaime Mena
Laurent Vivier  Elizabeth Montoya

 

Doctorantes

LDAR PUCV
Charlotte Derouet Romina Menares
Sophie Rousse    Paula Verdugo

Post-doctorantes

Carolina Henríquez PUCV
Raquel Barrera UQAM

 

Publications 

ARTICLES

MONTOYA DELGADILLO, E. & VIVIER, L. (2014). Les changements de domaine dans le cadre des Espaces de Travail Mathématique, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 19, 73-101.

MONTOYA DELGADILLO, E. & VIVIER, L. (2016) Mathematical Working Spaces as an analyzing tool for the teaching and learning of calculus , (première version d'un article accepté dans ZDM, 2006-5).

KUZNIAK, A., MONTOYA DELGADILLO, E. & VIVIER, L. (2016) El espacio de trabajo matemático y sus génesis , Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 15.

COURS ET TD A LA 18ème ECOLE d'ETE DE DIDACTIQUE

Cours 2 : Le travail mathématique en analyse de la troisième au début du supérieur : identification et construction , par Alain Kuzniak, Elizabeth Montoya, Fabrice Vandebrouck et Laurent Vivier


Atelier

  • Atelier 1 : La fonction exponentielle en fin d'étude secondaire, Sophie Rousse, Fabrice Vandebrouck, Paula Verdugo, Laurent Vivier
  • Atelier 2 : Entre ETM de l'analyse et ETM des probabilités : aires, intégrales et densité de probabilité, Charlotte Derouet, Soledad Estrella, Alain Kuzniak
  • Atelier 3 : La notion de tangente en formation des enseignants de mathématiques, du début à la fin de l'université, Elizabeth Montoya Delgadillo, Rosa Elvira Páez Murillo, Laurent Vivier

COMMUNICATIONS