Baisers apolloniens
Le séminaire de l’IREM présente une conférence "Baisers apolloniens" de Antoine Chambert-Loir, Professeur des Universités à l'UFR de mathématiques de l'Université Paris Diderot de 16h30 à 18h30 dans l'amphi Turing du bâtiment Sophie Germain
Le problème d'Apollonius consiste à déterminer les cercles tangents à trois cercles du plan qui sont déjà tangents deux à deux. On doit à Descartes l'observation que ce problème a deux solutions, et surtout la relation quadratique qui relie les rayons de ce nouveau cercle à ceux des trois cercles initiaux. J'expliquerai d'abord comment ce problème est lié à la géométrie de l'inversion, et aussi comment Lagarias et ses collaborateurs le résolvent par la géométrie sphérique.
Une fois tracé un tel quatrième cercle, on observe quatre « lunes » délimitées par trois cercles dans lesquelles effectuer à nouveau cette construction, qui délimitent etc. La réunion des disques qu'on obtient est appelée « empilement apollonien », une figure qui suscite de nombreuses questions de géométrie et de théorie des nombres, un grand nombre d'entre elles ont été récemment résolues grâce aux travaux de Sarnak, Kontorovich, Oh, Bourgain, Fuchs,...
